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四、解答題(共28分)

13.（13 分)已知二項展開式 ( 3 - 2 x ) ^ { 2 } ^ { 0 2 5 } = a _ { 0 } + a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2 025(x-1)2025.

(1)求 / { a _ { 1 } } { 2 } + / { a _ { 2 } } { 2 ^ { 2 } } + / { a _ { 3 } } { 2 ^ { 3 } } + *s + / { a _ { 2 } \ 0 2 5 } { 2 ^ { 2 \ 0 2 5 } } a2025的值；
(2)求 | a _ { 0 } | + | a _ { 1 } | + | a _ { 2 } | + *s + | a _ { 2 0 2 5 } | 的值.

14.(15分)已知 { \bigl ( } 2 { sqrt { x } } + { / { 1 } { sqrt { x } } } { \bigr ) } ^ { n } 的展開式中第三項的系數(shù)是第二項系數(shù)的2倍.

(1)求 n 的值；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(3)求 ( 1 + x ) ^ { 3 } + ( 1 + x ) ^ { 4 } + *s + ( 1 + x ) ^ { n + 2 } 的展開式中含 x ^ { 2 } 項的系數(shù)(結(jié)果用數(shù)值表示).

15.(5分)(2026·邯鄲模擬)若(2x-√a \left( 2 x ^ { 3 } - { / { sqrt { a } } { x } } \right) ^ { 6 } 的展開式中 x ^ { 1 0 } 的系數(shù)比 x ^ { 2 } 的系數(shù)小300，則實數(shù) a = （ ）

16.(5分)(2026·開封模擬)已知 { \Bigl ( } x + { / { 1 } { 2 x ^ { 2 } } } { \Bigr ) } ^ { \prime } （204號 ( n >=slant 4 \mathbf { \Phi } _ { : , n \in \mathbf { N } } \ast \mathbf { \Phi } _ { { ~ , ~ } } 的展開式中，第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為 1 5 : 2 ，展開式中系數(shù)最大項是得分

A.5 B.4
C.3 D.2

[答題區(qū)]

課時作業(yè)63 隨機事件與概率

（分值：100分）

一、單項選擇題(每小題5分，共40分)

1.將顏色分別為紅、白、藍的3個小球隨機分給甲、乙、丙3個人，每人1個，則與事件“甲分得紅球”互為對立事件的是 （）

A.乙分得紅球 B.丙分得紅球C.甲分得白球或藍球D.乙分得白球或藍球

2.某人從湖里打了一網(wǎng)魚，共60條，做上記號再放入湖中，數(shù)日后又打了一網(wǎng)共100條，其中做記號的15條，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計湖中有魚（）條.

A.150 B.300 C.400 D.600

3.打靶3次，記事件 A _ { i } 表示“共擊中 i 發(fā)”，其中 i =
0,1,2,3,那么 A _ { 0 } \cup A _ { 1 } 表示 （）

A.“全部擊中” B.“至少擊中1次”C.“至多擊中1次” D.“至少擊中2次”

4.某人欲寄出三封信，現(xiàn)有兩個郵筒供選擇，則三封信都投到同一個郵筒的概率是 （）

A / { 1 } { 2 } { B . / { 3 } { 4 } \qquad } { C . / { 1 } { 3 } \qquad } { D . / { 1 } { 4 } }

5.(2026·焦作模擬)從編號為1，2，3，4的4張卡片中隨機一次性抽取2張，則抽到的2張卡片編號之和為奇數(shù)的概率為 （）

6.某比賽為兩運動員制定下列發(fā)球規(guī)則：規(guī)則一：投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面向上，甲發(fā)球，反面向上，乙發(fā)球；規(guī)則二：從裝有2個紅球與2個黑球的布袋中隨機地取出2個球，如果同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球；規(guī)則三：從裝有3個紅球與1個黑球的布袋中隨機取出2個球，如果同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球.上述規(guī)則對甲、乙公平的有 （）

A.規(guī)則一，規(guī)則二 B.規(guī)則一，規(guī)則三 C.規(guī)則二，規(guī)則三 D.規(guī)則一，規(guī)則二,規(guī)則三

7.袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.59，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.74，則摸出的球是紅球的概率為 （）

A.0.47 B.0.43 C.0.33 D.0.26

8.現(xiàn)有大小和質(zhì)地相同的6個球，其中有3個紅球（標號分別為1、2、3)，3個綠球(標號分別為1、2、3)，按一定方式抽取兩球，標號之和大于4即為取球成功.現(xiàn)有三種抽取方式：方式 ① 有放回依次抽取兩球；方式 ② 不放回依次抽取兩球；方式③ 按顏色等比例分層抽取兩球.記這三種方式取球成功的概率分別為 \boldsymbol { \phi } _ { 1 } , \boldsymbol { \phi } _ { 2 } , \boldsymbol { \phi } _ { 3 } .則 （）

A. \rho _ { 1 } { > } p _ { 2 } { > } p _ { 3 } （204號 B. \smash { p _ { 3 } > p _ { 2 } > p _ { 1 } }
C. \phi _ { 3 } > p _ { 1 } = \phi _ { 2 } （20 D. { p _ { 1 } = p _ { 2 } = p _ { 3 } }

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

9.從裝有2雙一次性筷子和2雙正常筷子的口袋中任取2雙,那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A.恰有1雙一次性筷子與恰有2雙一次性筷子B.至少有1雙正常筷子與都是一次性筷子C.恰有2雙一次性筷子與恰有2雙正常筷子D.至少有1雙一次性筷子與至少有1雙正常筷子

10.下列敘述正確的是

A.A與B為對立事件是 A 與B為互斥事件的充分不必要條件
B.不透明的袋子中有3個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球，1個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩次都摸到紅球的概率為
C.不透明的袋子中有3個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球，1個黃球，從中有放回地依次隨機摸出2個球，則兩次都摸到紅球的概率為
D.從集合 A = \{ 1 , 2 , 3 \} 中任取一個數(shù)記為 \mathbf { α } _ { a } ，從集合 B = \{ 4 , 5 , 6 \} 中任取一個數(shù)記為 it { b } ，則 ^ { a + } b>7的概率為

三、填空題(每小題5分，共10分)

11.甲乙丙三位同學之間相互踢鍵子.假設他們相互間傳遞鍵子是等可能的，并且由甲開始傳，則經(jīng)過3次傳遞后，鍵子傳到丙處的概率為得分

12.有2人在一座6層大樓的底層進入電梯，他們每一個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則他們在不同樓層離開電梯的概率是得分

四、解答題(共28分)

13.(13分)某班級有5名學生，其中男生3人，女生2人.現(xiàn)隨機抽取2人參加活動.

（1)求抽到的2人中恰有1名男生的概率；
(2)求抽到的2人中至少有1名女生的概率；
（3)求抽到的2人中男生人數(shù)不少于女生的概率.

14.(15分)某環(huán)保組織進行了關(guān)于生態(tài)文明建設的知識競賽，隨機調(diào)查了100名參與者，統(tǒng)計了這100人答對的題數(shù)，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為[0，20），[20,40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，[100，120]六個小組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知答對題數(shù)在[20，40)內(nèi)的人數(shù)是答對題

優(yōu)生選做題 （共10分）

數(shù)在[0，20)內(nèi)的人數(shù)的5倍.

(1)求頻率分布直方圖中 { \mathbf { α } } _ { a , b } 的值，并估計這100人答對題數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；
(2)設成績在前 2 5 % 的答題者被認定為“環(huán)保知識小達人”，按是否為“環(huán)保知識小達人”用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中抽取2人，求這2人中至少有1人為“環(huán)保知識小達人"的概率.

15.(5分)已知甲乙丙3名同學從學校的2個科技類社團，2個藝術(shù)類社團，1個體育類社團中選擇報名參加，每人只能報名參加一個社團，則有人報名參加體育類社團且僅有一人報名科技類社團的概率為 （）

A / { 1 } { 5 } B / { 6 } { 2 5 } c / { 3 } { 2 5 } D. / { 2 } { 5 }

[答題區(qū)]

16.(5分)(2026·濰坊模擬)已知一個正整數(shù) n ，若能找到正整數(shù) it { a } , it { b } ，使得 \scriptstyle n = a + b + a b ，則稱 n 為一個“好數(shù)”.現(xiàn)在從1到20這20個正整數(shù)中任取一個數(shù)，取到"好數(shù)"的概率為

課時作業(yè)64 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式

（分值：100分）

一、單項選擇題(每小題5分，共40分)

1.甲、乙兩人獨立破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是，， ，，則恰有一人成功破譯的概率為 （）

2.已知事件 A 與事件 B 相互獨立，且 P \left( A \right) = / { 1 } { 5 } P ( B ) = { / { 5 } { 6 } } ，則P（AB)= （ ）

3.已知 A , B 是一個隨機試驗中的兩個隨機事件，若 P ( A ) { = } P ( B ) { = } { / { 1 } { 3 } } , P ( A B ) { = } { / { 1 } { 9 } } ，則 （ ）

A. A 與 B 相互獨立且 P \left( A + B \right) = { / { 2 } { 3 } } B. A 與 B 不相互獨立且 P \left( A + B \right) = / { 2 } { 3 } C.A與 B 相互獨立且 P \left( A + B \right) = / { 5 } { 9 } D. A 與 B 不相互獨立且 P \left( A + B \right) = / { 5 } { 9 }

4.（2026·南充模擬)同時投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設事件 \boldsymbol { A } 為第一枚骰子投出的點數(shù)為奇數(shù)，事件 B 為兩枚骰子點數(shù)之和為8，則 P ( B \mid A ) = （）

5.某校積極開展社團活動，學期結(jié)束時，社團老師對參加社團的同學進行選擇性考核.某社團有小明、小剛等5位同學參加，現(xiàn)選3位同學參加考核，則在小明被選中的條件下，小剛被選中的概率為 （）

/ { 1 } { 3 } 1 2 2 A B. C. D.

6.（2026·西安模擬）小張一家打算去西安市或漢中市旅游，去西安市與漢中市的概率分別為0.7，0.3，在西安市去游樂園的概率為0.6，在漢中市去游樂園的概率為0.4，則小張一家去游樂園的概率為 （）

A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.54

7.某公司升級了智能客服系統(tǒng)，當輸入的問題表達清晰時,智能客服的回答被采納的概率為 當輸入的問題表達不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為 為,已知輸入的問題表達不清晰的概率為 * { } ^ { / { 1 } { 4 } } .則智能客服的回答被采納的概率為（）

8.設甲、乙兩人每次投進籃球的概率分別為 與 / 1 3 / { 2 } { 3 } ，兩人約定如下投籃：每次由一人投籃，若投（204號進，下一次由另一人投籃;若沒有投進，則繼續(xù)投籃，甲、乙兩人首次投籃的可能性相同，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為 （）

/ { 4 } { 2 7 } / { 8 } { 2 7 } 10 20
A前 B. C. 27 D. 27

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

9.如圖，一個質(zhì)地均勻的正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲這個八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為 \varOmega = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \} . A 表示事件“數(shù)字為質(zhì)數(shù)”，B 表示事件“數(shù)字為偶數(shù)”， c 表示事件“數(shù)字大于4”， D 表示事件“數(shù)字為 8 ^ { \prime \prime } ，則 （）

A. A 與 B 相互獨立 B. B 與 c 相互獨立C. A 與 c 相互獨立 D. B 與 D 相互獨立

10.有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺加工的次品率分別為 6 % , 5 % , 4 % ，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)的比為 5 : 6 : 9 ，現(xiàn)任取一個零件，記事件 A _ { i } = “零件為第 i 臺車床加工” ( i = 1 , 2 , 3 ) ，事件 B = “零件為次品”，則 （）

{ { A } } . { \mathit { P } } ( A _ { 1 } ) { = } { 0 } . { 2 } { 5 } { { ~ } } \qquad { { B } } . { \mathit { P } } ( B | A _ { 2 } ) { = } { / { 3 } { 2 0 0 } } { ~ C . ~ } P ( B ) = 0 . 0 4 8 \qquad { ~ D . ~ } P ( A _ { 1 } \mid B ) = / { 5 } { 1 6 }

三、填空題(每小題5分，共10分)

11.“青年大學習"是共青團中央發(fā)起的青年學習行動，每期視頻學習過程中一般有兩個問題需要點擊回答.某期學習中假設同學小華答對第一、二個問題的概率分別為 ，且兩題是否答對互不影響.則小華恰好答對一個問題的概率為得分

12.班主任安排班干部在暑假給教室的綠植澆一次 水，若不澆水，綠植枯萎的概率為0.7；若澆水， 綠植枯萎的概率為0.15，而班干部澆水的概率 為0.9，則開學返校時綠植枯萎的概率為 得分

四、解答題(共28分)

13.（13分)甲、乙兩人組成“星隊"參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為 / { 3 } { 4 } ,乙每輪猜對的概率為 / { 2 } { 3 } ，在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.(1)求甲在兩輪活動中，至少猜對一個成語的概率；(2)求"星隊"在兩輪活動中猜對3個成語的概率.

14.(15分)甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球.(1)從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，求2個球都是紅球的概率；(2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4，從甲箱隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于5，從乙箱中隨機抽出1個球，若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率. 得分

優(yōu)生選做題 (共10分)

15.(5分)某學校組織數(shù)學競賽活動，準備了兩組題目分別放在 A , B 兩個箱子中. A 箱中有4道代數(shù)題和2道幾何題， B 箱中有3道代數(shù)題和3道幾何題.參賽選手先在兩個箱子中任選一個箱子，然后從選中的箱子中依次抽取2道題（不放回)作答.若乙同學選擇 A 箱，答題結(jié)束后工作人員失誤將乙抽取的題目放回了 B 箱，接著丙同學選擇從 B 箱抽取題目，則丙抽取的2道題中至少有一道代數(shù)題的概率為 （）

/ { 1 1 } { 1 4 } 4 25 / { 8 6 } { 1 0 5 } A. B. C. D. （204號 15 28

[答題區(qū)]

16.(5分)(2026·秦皇島模擬)甲、乙、丙3名學生各自回答同一個問題，回答正確與否互不影響.已知： ① 甲回答正確的概率為 / 1 3 { 2 } 3 名學生至少有1人回答正確的概率為 / { 3 } { 4 } { 3 } 乙回答正確且丙回答錯誤的概率為 / { 1 } { 4 } .則甲、乙、丙均回答

正確的概率為

課時作業(yè)65 離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征

（分值：100分）

一、單項選擇題(每小題5分，共40分)

1.已知隨機變量 X 服從 0 - 1 分布，且 P ( X = 1 ) = 2 P ( X = 0 ) - 1 ，則 P ( X = 0 ) = （）

A. / 1 3 B. / { 1 } { 2 } C / { 3 } { 5 } { { D } } . { / { 2 } { 3 } }

2.若隨機變量 \boldsymbol { \xi } 的分布如下表：

則 P ( \mid \xi \mid < 2 ) 的值為

A.0.3 B.0.4
C.0.55 D.0.85

3.已知隨機變量 X 的取值為0，1,2，若 P ( X = 0 ) = ,E(X)=1,則標準差為 （ ）

A. / { 2 } { 5 } B.{ C . } { / { sqrt { 1 0 } } { 5 } } { D . } { / { 2 { sqrt { 5 } } } { 5 } } （204號

4.已知隨機變量 X 的分布列如下：

若 E ( X ) = 0 ，則 D ( 3 X + 1 ) =

7.已知隨機變量 \hat { \xi } _ { i } 滿足 P \left( \xi _ { i } = 1 \right) = p _ { i } P ( \xi _ { i } = 0 ) = 1 - p _ { i } , i = 1 , 2 . 若 0 { < } p _ { 1 } { < } p _ { 2 } { < } / { 1 } { 2 } ，則 （ ）

\scriptstyle { A } . E ( ±b { \xi } _ { 1 } ) < E ( ±b { \xi } _ { 2 } ) , D ( ±b { \xi } _ { 1 } ) < D ( ±b { \xi } _ { 2 } ) { B } . E ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { < } E ( ±b { \xi } _ { 2 } ) , D ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { > } D ( ±b { \xi } _ { 2 } ) { C } _ { \bullet } E ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { > } E ( ±b { \xi } _ { 2 } ) , D ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { < } D ( ±b { \xi } _ { 2 } ) { D } . E ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { > } E ( ±b { \xi } _ { 2 } ) , D ( ±b { \xi } _ { 1 } ) { > } D ( ±b { \xi } _ { 2 } )

8.已知隨機變量 X 有三個不同的取值，分別是0，^ { 1 , x } ,其中 x \in ( 0 , 1 ) ，又 P ( X = 0 ) = / { 1 } { 2 } , P ( X = 1 ) = / { 1 } { 4 } ,隨機變量 X 的方差的最小值為 （ ）

A. / { 1 } { 6 } { { B } } . { / { 1 } { 3 } }
C. / { 1 } { 2 } D. / { 2 } { 3 }

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

9.已知隨機變量 X 的分布列為下列結(jié)論正確的是

A B.7
C.21 D.22

5.設離散型隨機變量 \boldsymbol { \xi } 可能取的值為1，2，3，且P ( \xi = k ) = a k + b ( k = 1 , 2 , 3 ) ，又 \boldsymbol { \xi } 的數(shù)學期望E ( \xi ) = 3 ，則 a b 的值為 （）

A. m = 0 . 1 5 （204 B . E ( X ) = 2 . 5 （20
C . E ( 2 X ) = 6 （204號 D . D ( X ) = 2 （2

A. / { 1 } { 2 } { B } . - { / { 2 } { 3 } } C （204號 / { 1 } { 3 } { D } . - { / { 1 } { 3 } }

6.（2026·邯鄲模擬）一袋子里有大小形狀完全相同的3個紅球，2個白球，1個黃球，現(xiàn)從袋子里這6個球中隨機摸球，每次摸一球，不放回，摸到紅球就結(jié)束摸球， X 表示摸球次數(shù)，則 X 的數(shù)學期望 E ( X ) = （）

A / { 7 } { 4 } { B } . / { 8 } { 3 } c / { 9 } { 4 } { { D } } . { / { 1 0 } { 3 } }

10.設隨機變量 X 的分布列為 P \left( X = k \right) = / { a } { k + 1 } ( k = 1 , 2 , 5 ) , a \in { \mathbf { R } } , E ( X ) , D ( X ) 分別為隨機變量X 的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是（）

\operatorname { A } . { \cal P } ( 0 < X < 3 ) = { / { 2 } { 3 } } \quad \operatorname { B } . { \cal E } ( 3 X + 2 ) = 8 { C } . D ( X ) = 2 \qquad { D } . D ( 3 X + 1 ) = 7

三、填空題(每小題5分，共10分)

11.已知隨機變量 X 的分布列為 P \stackrel { * } { ( \boldsymbol { X } = i ) } = / { i } { a } ( i = 1,2,3)，則 E ( a X + 4 ) =

12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上得2分，反 面向上得一1分.若連續(xù)拋擲2次，記所得總分 為隨機變量 X ，則 E ( X ) =

四、解答題(共28分)

I3.(13分)（2026·深圳模擬）“讀萬卷書，行萬里路”，小茗同學利用假期時間從所居住的 A 城市到 ^ { } B , C 兩個城市旅行，行程為：先從 A 城市到B 城市，再從 B 城市到 C 城市，最后從 c 城市返回 A 城市.在每兩個城市之間都只能選擇高鐵、飛機、大巴三種交通工具中的一種.為了體驗沿途的不同風光，她決定不連續(xù)兩次乘坐同一種交通工具.已知在每次乘坐高鐵后，下一次乘坐飛機的概率為 / { 1 } { 3 } ;在每次乘坐飛機后，下一次乘坐高鐵的概率為 / { 1 } { 4 } ;在每次乘坐大巴后，下一次乘坐飛機的概率為 / { 3 } { 5 } =

(1)若小茗乘坐飛機從 A 城市到 B 城市，求她從 c 城市返回 A 城市乘坐高鐵的概率；(2)在小茗乘坐高鐵從 \boldsymbol { A } 城市到 B 城市的前提下，求她此次旅行乘坐高鐵的次數(shù) \boldsymbol { \xi } 的分布列和數(shù)學期望. 得分

14.（15分)某學校組織“一帶一路"知識競賽，有 A .B 兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束. A 類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答 A 類問題的概率為0.8，能正確回答 B 類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1)若小明先回答 A 類問題，記 X 為小明的累計得分，求 X 的分布列.

(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？請說明理由. 得分

優(yōu)生選做題 (共10分)

15.(5分)(2026·鄭州模擬)已知隨機變量 X , Y 均服從兩點分布，且 P ( X = 1 ) = { / { 1 } { 2 } } 0 P ( Y = 1 ) = / { 2 } { 3 } （2若 P ( X Y = 0 ) { = } { / { 3 } { 5 } } ,則 P(Y=1|X=0)=（ ）

[答題區(qū)]

16.（5分)有3個分別標有數(shù)字1，2，3的小球，從中有放回地隨機取4次，每次取1個球.記 X 為這3個球中至少被取出1次的球的個數(shù)，則 X 的數(shù)學期望 E ( X ) = 得分

課時作業(yè)66 二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

（分值：100分）

一、單項選擇題(每小題5分，共40分)

1.隨機變量 X 服從二項分布 X ~ B \left( 1 0 , / { 1 } { 2 } \right) ，則E ( X ) 等于

A.5 { ~ B . ~ } / { 5 } { 2 } \qquad { ~ C . ~ 1 ~ } \qquad { ~ D . ~ 0 ~ } （20

2.一包裝箱內(nèi)有12件產(chǎn)品，其中有10件合格品.現(xiàn)從中隨機取出4件，設取出的4件產(chǎn)品中有 X 件合格品，則 E ( X ) = （）

3.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù) \varphi _ { i } = { / { 1 } { \sigma _ { i } { sqrt { 2 π } } } } { e } ^ { - { / { ( x - { \mu } ^ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { i } } } } ( x \in \mathbf { R } , i = 1 , 2 , 3 ) （其中，e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

A. \sigma _ { 1 } { = } \sigma _ { 2 } { > } \sigma _ { 3 } B . \mu _ { 1 } > \mu _ { 3 } （204號 （ \therefore \sigma _ { 2 } { < } \sigma _ { 3 } （204號 \operatorname { D } _ { * \mu _ { 1 } } = _ { \mu _ { 2 } } （204號

4.(2026·眉山模擬)設隨機變量 X ~ N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right) .P ( 0 < X < 4 ) = 0 . 3 則 P ( X { < } 0 ) = （）

A.0.25 B.0.35 C.0.65 D.0.70

5.如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點 \mid O 處出發(fā)，每隔1秒等可能地向左或向右移動一個單位，共移動5次，則質(zhì)點位于－1的位置的概率為 （）

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

/ { 5 } { 3 2 } 5 5 1
A. B.16 C. 8 D. 4

6.若隨機變量 X { ~ } N \big ( \mu , / { 4 } { 9 } \big ) ,隨機變量 Y ~ B ( 3 , \phi ) 且 P ( X { >=slant } 1 ) = { / { 1 } { 2 } } E ( X ) = E ( Y ) ，則 P ( Y { <=slant } 1 ) = （ ）

8.在 \mathbf { \Omega } _ { n } 重伯努利試驗中，每次試驗發(fā)生的概率均為（204號 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Sigma } } } _ { { P } } ,且2次試驗中恰好發(fā)生1次的概率為 / { 4 } { 9 } ,若隨機變量 X { ~ } B ( 6 , p ) ，則 X 的方差為 D \left( X \right) = （ ）

二、多項選擇題(每小題6分，共12分)

9.(2026·九龍坡模擬)已知隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N ( 2 , \sigma ^ { 2 } ) ，則下列說法正確的是 （）

\ { A } . \ E ( X ) = { sqrt { 2 } }
B.當 \sigma { = } 0 . 2 時， D ( 2 X + 1 ) = 0 . 1 6
\operatorname { C } _ { * } P ( X < 1 . 8 ) + P ( X < 2 . 2 ) = 1
D.隨機變量 X 落在(1.9，2.2)與落在(1.8，2.1)的概率相等

10.某高中為了讓同學們了解有關(guān)半導體芯片的內(nèi)容，并同時增加同學們對芯片行業(yè)的興趣，特地舉辦了一次半導體芯片知識競賽，統(tǒng)計結(jié)果顯示，學生成績(滿分100分） X ~ N ( 7 0 , \sigma ^ { 2 } ) ,其中不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，且優(yōu)秀率為 20 % .若從全校參與競賽的學生中隨機選取5人，記選取的5人中知識競賽及格的學生人數(shù)為Y，則 （）

A.該知識競賽的及格率為 60 %
B , P ( Y = 2 ) = { / { 3 2 } { 6 2 5 } }
{ C } . E ( Y ) = 4
D \phantom { - } 0 ( Y ) = 0 . 8

三、填空題(每小題5分，共10分)

11.某研究所在試驗一批種子，已知該批種子的發(fā)芽率是， ，從中隨機選擇4粒種子進行播種，則恰有3粒種子發(fā)芽的概率是

A. / { 7 } { 2 7 } B? / { 8 } { 2 7 } 12 27 D / { 2 0 } { 2 7 }

7.盒中有10個玩具，其中有3個是壞的，先從盒中隨機地抽取4個,則下列事件概率是 * / { 1 } { 6 } 的是（）

A.恰有1個是壞的 B.4個全是好的C.恰有2個是壞的 D.至多有2個是壞的

12.袋裝食鹽標準質(zhì)量為 _ { rm { 4 0 0 } rm { g } } ，規(guī)定誤差的絕對值不超過 _ { ~ 4 ~ g ~ } 就認為合格.假設誤差服從正態(tài)分布，隨機抽取100袋食鹽，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4.由此可估計這批袋裝鹽的合格率為 得分

四、解答題(共28分)

13.(13分)某市今年舉辦的創(chuàng)業(yè)大賽吸引了眾多優(yōu)質(zhì)項目參與，經(jīng)評審某領域有8個項目進入最終角逐，其中科技類項目5個，文創(chuàng)類項目3個.從上述8個項目中隨機抽取2個進行路演展示.

(1)求抽出的兩個項目中至少有一個是文創(chuàng)類項目的概率；

(2)記路演展示項目中抽中的科技類項目的個數(shù)為 X ，求 X 的分布列. 得分

回答4個問題，每答對一個得10分，答錯不得分.第一階段，每個問題選手甲答對的概率都是;第二階段,若選手甲進入高分組，每個問題答對的概率都是 ,若選手甲進入低分組，每個問題答對的概率都是.

(1)求選手甲第一階段不被淘汰的概率；（2)求選手甲在該次比賽得分數(shù)為40分的概率；(3)已知該次比賽選手甲進入了高分組，記選手甲在該次比賽中得分數(shù)為 X ，求隨機變量 X 的分布列和期望值. 得分

14.（15分）（2026·鄭州模擬)為宣揚中國文化，某校組織古詩詞知識比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎知識問答，每位選手都需要回答3個問題，答對其中至少2個問題，進入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組和低分組，第一階段3個問題都答對的選手進入高分組，共回答4個問題，每答對一個得20分，答錯不得分；第一階段答對2個問題的選手進入低分組，共

優(yōu)生選做題 (共10分)

15.(5分)甲、乙兩人玩一種撲克游戲，每局開始前每人手中各有6張撲克牌，點數(shù)分別為 1 ~ 6 ，兩人各隨機出牌1張，當兩張牌的點數(shù)之差為偶數(shù)時，視為平局，當兩張牌的點數(shù)之差為奇數(shù)時，誰的牌點數(shù)大誰勝，重復上面的步驟，游戲進行到一方比對方多勝2次或平局4次時停止，記游戲停止時甲、乙各出牌 X 次，則 P ( X = 4 ) = （）

[答題區(qū)]

16.(5分)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布 X ~ N ( 1 0 , \sigma ^ { 2 } ) ，質(zhì)量指標介于8至12之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達到9 9 . 7 % ,則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得 \sigma 至多為得分

微專題12 統(tǒng)計與概率的綜合問題

（分值：60分）

1.(13分)某工廠的一個生產(chǎn)車間舉行了生產(chǎn)技能測試（滿分100分），經(jīng)統(tǒng)計，全部測試成績均位于[50，100]內(nèi)，按區(qū)間[50，60)，[60，70），[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5組，繪制頻率分布直方圖如圖，其中在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為6.

(1)求 \mathbf { α } _ { a } 的值，并估計參加測試的職工的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；(2)現(xiàn)將[50，60)和[90，100]內(nèi)的所有職工的工號貼在形狀、大小和質(zhì)地均相同的小球上(每個小球貼一個工號)，并放入盒內(nèi)，從盒中隨機抽取兩個小球，若抽出的兩人成績差不小于30，稱這兩人為“黃金搭檔組”.若抽取4次，每次取出2個球，記下工號后再放回盒內(nèi).記取得“黃金搭檔組"的次數(shù)為 X ，求X { = } 2 的概率和 X 的數(shù)學期望. 得分

2.(15分)某中學為了解高二年級學生對“數(shù)學建模競賽"的參與意愿與性別是否有關(guān)，現(xiàn)從學校中隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

(1)根據(jù)小概率值 α = 0 . \ 0 5 的獨立性檢驗，能否認為“愿意參與數(shù)學建模競賽與性別有關(guān)聯(lián)”?（2)從樣本中“愿意參與"的學生中按性別采用分層抽樣的方法抽取11人，再從這11人中隨機抽取3人作為競賽種子選手，記3人中女生的人數(shù)為 X ，求 X 的分布列和數(shù)學期望.

3.（15分)全面建成小康社會取得了偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅取得了決定性勝利，某脫貧縣實現(xiàn)脫貧奔小康的目標，該縣經(jīng)濟委員會積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟，引導商家利用多媒體的優(yōu)勢，對本地特產(chǎn)進行廣告宣傳，取得了社會效益和經(jīng)濟效益的雙豐收.

(1)該縣經(jīng)濟委員會為精準了解本地特產(chǎn)廣告宣傳的導向作用，在購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機抽取300人進行廣告宣傳作用的調(diào)研，對因廣告宣傳導向而購買該縣特產(chǎn)的客戶統(tǒng)計結(jié)果是：客戶群體中青年人約占 1 5 % ，其中男性為 20 % ；中年人約占 50 % ，其中男性為 3 5 % ；老年人約占 3 5 % ，其中男性為 5 5 % .以樣本估計總體，視頻率為概率.

① 在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機抽取一名客戶，求抽取的客戶是男性的概率；
② 在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機抽取一名客戶是男客戶，求他是中年人的概率(精確到0.0001)；(2)該縣經(jīng)濟委員會統(tǒng)計了某6至12月這7個月的月廣告投入 \mathbf { \Psi } _ { x } （單位：萬元）； _ y （單位：萬件）的數(shù)據(jù)如表所示：請根據(jù)相關(guān)系數(shù) \boldsymbol { r } 說明相關(guān)關(guān)系的強弱.（若| r | >=slant 0 . 7 5 ，則認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性， \boldsymbol { r } 值精確到0.001)
參考數(shù)據(jù)： \stackrel { i = 1 } { \underset { 7 } { \sum } } x _ { i } y _ { i } = 1 ~ 3 5 4 , \stackrel { i = 1 } { \underset { 7 } { \sum } } ( y _ { i } - \stackrel { - } { y } ) ^ { 2 } = 8 2 0 sqrt { 1 \ 4 3 5 } { \approx } 3 7 . \ 8 8
參考公式：相關(guān)系數(shù) r = / { \underset { n } { \overset { i = 1 } { \sum } } x _ { i } y _ { i } - n \overline { { x } } \bullet \overline { { y } } } { sqrt { \underset { n } { \overset { i = 1 } { \sum } } x _ { i } ^ { 2 } - n \overline { { x } } ^ { 2 } } \bullet sqrt { \underset { n } { \overset { i = 1 } { \sum } } y _ { i } ^ { 2 } - n \overline { { y } } ^ { 2 } } } .

優(yōu)生選做題 (共17分)

4.（17分)（2026·滄州模擬)“你好！我是DeepSeek，很高興見到你！我可以幫你寫代碼，讀文件，寫作各種創(chuàng)意內(nèi)容，請把你的任務交給我吧”，DeepSeek從橫空出世到與我們?nèi)粘Ｏ喟椋蔀槲覀兘鉀Q問題的“好參謀，好助手”，AI大模型正在改變著我們的工作和生活的方式.為了了解不同學歷人群對DeepSeek的使用情況，隨機調(diào)查了200人，得到如下數(shù)據(jù)：

單位：人

(1)依據(jù)小概率值 α = 0 . \ 0 1 的獨立性檢驗，能否認為DeepSeek的使用情況與學歷有關(guān)?

（2)某校組織“AI模型"知識競賽，甲、乙兩名選手在決賽階段相遇，決賽階段共有3道題目，甲、乙同時依次作答，3道試題作答完畢后比賽結(jié)束.規(guī)定：若對同一道題目，兩人同時答對或答錯，每人得0分；若一人答對另一人答錯，答對的得10分，答錯的得一10分，比賽結(jié)束累加得分為正數(shù)者獲勝，兩人分別獨立答題互不影響，每人每次的答題結(jié)果也互不影響，若甲，乙兩名選手正確回答每道題的概率分別為號,1.

（i)求比賽結(jié)束后甲獲勝的概率；（i)求比賽結(jié)束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對1道題的概率. 得分

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